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Estelaciones

1.- Introducción

En tres dimensiones, una estelación significa construir un nuevo poliedro a partir de uno existente mediante el proceso de extender elementos como aristas o caras, habitualmente de forma simétrica, hasta que se encuentren para formar un nuevo polígono o poliedro. La nueva figura es una estelación del original. Esta definición fue dada por Kepler en el 1619. Kepler estrelló el dodecaedro para obtener dos de los poliedros estrellados regulares (o poliedros de Kepler-Poinsot). También estrelló el octaedro obteniendo el tetraedro estrella u octaedro estrellado.

2.- Octaedro Estrellado

El octaedro estrellado puede verse o como un compuesto poliédrico o como una estelación. Como un compuesto, se construye como la unión de dos tetraedros (un tetraedro y su tetraedro dual). Los vértices del poliedro resultante coinciden con los vértices de un cubo (Figura 1a). La intersección de los dos tetraedros forma un octaedro interno (Figura 1b) que comparte los planos de las caras con el compuesto. Como estelación, se construye partiendo de un octaedro y añadiéndole pequeños tetraedros a cada cara.

(a) (b)
Figura 1: Octaedro estrellado y su red interna (haciendo click en la imagen de la izquierda se obtiene una vista 3D que se puede acercar, alejar y rotar).

El octaedro estrellado forma parte del núcleo de la red interna del Cubo de Metatrón, que se puede construir generando un cuadrado de cuatro poliedros de estos, y otro cuadrado encima de éste. Véase nuestro artículo sobre el Cubo de Metatrón para una descripción detallada.

3.- Los poliedros de Kepler-Poinsot

Estos poliedros se pueden obtener estrellando el dodecaedro y el isosaedro. Tienen pentagramas como caras o figuras de los vértices. El gran dodecaedro y el gran icosaedro tienen caras poligonales convexas, pero figuras pentagramáticas como vértices. El pequeño y el gran dodecaedro estrellado tienen caras pentagramáticas regulares no convexas. Los sólidos de Kepler-Poinsot existen en pares duales: el pequeño dodecaedro estrellado es el dual del gran dodecaedro, y el gran dodecaedro estrellado es el dual del gran icosaedro (Figura 2).

SOLID DUAL SOLID

 

 

(a) Gran dodecaedro (b) Pequeño dodecaedro estrellado

 

(c) Gran icosaedro (d) Gran dodecaedro estrellado
Figura 2: Poliedros de Kepler-Poinsot (haciendo click en la imagen se obtiene una vista 3D que se puede acercar, alejar y rotar).

En todos estos sólidos, dos caras pueden intersectar en una línea que no es la arista de ninguna cara, de forma que una parte de cada cara pasa por el interior de la figura. Estas líneas de intersección se llaman falsas aristas porque no son parte del poliedro. De forma similar, tres de estas líneas pueden intersectar en un punto que no es ningún vértice, lo que se conoce como un falso vértice. En las imágenes de abajo, hay bolas doradas en la posición de los verdaderos vértices, y varillas plateadas en las verdaderas aristas (Figura 3).

(a) Gran dodecaedro (b) Pequeño dodecaedro estrellado

 

(c) Gran icosaedro (d) Gran dodecaedro estrellado
Figura 3: Los verdaderos vértices se muestran como bolas doradas, y las verdaderas aristas como varillas plateadas (imágenes de Wikipedia).