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Pirámides y Prismas

1.- Pirámides

Una pirámide es un poliedro formado conectando cada vértice de una base poligonal a un punto llamado ápex. Es un sólido cónico con base poligonal. Si no se especifica, habitualmente la base se supone que es cuadrada. Si la base es un polígono regular y el ápex está perpendicularmente encima de su centro, la pirámide es simétrica. El segmento que conecta el ápex con el punto medio de una arista de la base se llama apotema (Figura 1).

Figura 1: Una pirámide cuadrangular genérica de base 2b, altura h y apotema a.

Existen sólo tres pirámides cuya base es un polígono regular y cuyas aristas son todas iguales: el tetraedro, la pirámide cuadrangular y la pirámide pentagonal (Figura 2).

(a) Triangular (b) Cuadrangular (c) Pentagonal
Figura 2: Pirámides con base poligonal regular y todas las aristas iguales (haciendo click en la imagen se obtiene una vista 3D que se puede acercar, alejar y rotar).

En general, dada una cara poligonal regular, la altura de la pirámidepuede tomar cualquier valor. Sin embargo, hay algunas pirámides cuadrangulares especiales, como la pirámide Aurea, en la cual el triángulo b:h:a de la Figura 1 es un triángulo de Kepler (sus lados obdecen a la progresión 1:φ:φ); o la pirámide cuadrangular con una relación de altura a base h:b=4:π como la Gran Pirámide de Giza. Estas dos últimas pirámides aproximan muy bien la Cuadratura del Círculo.

Las pirámides con un polígono regular estrellado como base se conocen como pirámides estrelladas. Algunos ejemplos son las pirámides pentagrámica y heptagrámica mostradas en la Figura 3.

(a) Pentagrámica (b) Heptagrámica I (c) Heptagrámica II
Figura 2: Algunas pirámides estrelladas (haciendo click en la imagen se obtiene una vista 3D que se puede acercar, alejar y rotar).

2.- Bipirámides y Prismas

Un poliedro cercano es la dipirámide (o bipirámide), que se forma uniendo dos pirámides base con base (Figura 3b). Esta operación esconde la "base" original que le da su nombre a la bipirámide. Las bipirámides són los poliedros duales de los prismas uniformes, que son prismas rectangulares con bases poligonales regulares y todas las aristas de igual longitud (Figura 3a). La figura siguiente muestra algunas bipirámides con sus correspondiente prisma dual:

PRISMA TRIANGULAR

BIPIRÁMIDE TRIANGULAR

CUBO

OCTAEDRO

PRISMA PENTAGONAL

BIPIRÁMIDE PENTAGONAL

PRISMA HEXAGONAL

BIPIRÁMIDE HEXAGONAL

PRISMA OCTAGONAL

BIPIRÁMIDE OCTAGONAL

PRISMA DECAGONAL

BIPIRÁMIDE DECAGONAL

(a) Prismas uniformes (b) Bipirámides
Figura 3: Haciendo click sobre cualquier imágen se obtiene una vista 3D que se puede acercar, alejar y rotar.

3.- Antiprismas y Deltoedros

Un antiprisma es un poliedro compuesto por dos copias paralelas de un polígono base conectadas por una banda alternada de triángulos (Figura 4a). Los antiprismas son similares a los prismas excepto que las bases están giradas la una en relación a la otra, y las caras laterales son triángulos en logar de cuadriláteros. Los antiprismas uniformes tienen triángulos equiláteros como caras laterales.

El poliedro dual de un antiprisma es un deltoedro (o trapezoedro o antibipirámide). Un deltoedro puede descomponerse en dos pirámides idénticas y un antiprisma central (Figura 4b). La figura siguiente muestra algunos antiprismas junto con su correspondiente deltoedro dual.

ANTIPRISMA CUADRANGULAR

DELTOEDRO CUADRANGULAR

ANTIPRISMA PENTAGONAL

DELTOEDRO PENTAGONAL

ANTIPRISMA HEXAGONAL

DELTOEDRO HEXAGONAL

ANTIPRISMA OCTAGONAL

DELTOEDRO OCTAGONAL

ANTIPRISMA DECAGONAL

DELTOEDRO DECAGONAL

(a) Antiprismas (b) Deltoedros
Figura 4: Haciendo click sobre cualquier imágen se obtiene una vista 3D que se puede acercar, alejar y rotar.