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Fracciones continuas

"Los fenómenos naturales se expresan a través del número sin que sea necesario medir.
La observación y la medida tan sólo consiguen verificar lo que ya estaba presente dentro del propio número.
Sólo podemos averiguar los secretos del número sujetándolo bajo la luz de la forma adecuada".

    Jay Kappraff

Tabla de Contenido

1.- Introducción
2.- Definiciones básicas
3.- Cálculo de los índices
4.- Cálculo de los convergentes
5.- Un procedimiento gráfico: el árbol de Farey
6.- Fracciones continuas de números irracionales
7.- Números nobles
8.- Referencias
Apéndice

1.- Introducción

Más allá de los números enteros, encontramos las fracciones -también conocidas como números racionales- que expresan una relación entre dos cantidades enteras (dos lados de un polígono, las frecuencias de dos osciladores, etc.). Cuando los escribimos en notación decimal, o bien tienen un número finito de cifras decimales, como 235/100=0.235, o un número infinito de decimales repetitivos, como 11/7=1.571428571428571428... La otra "mitad" de la película está protagonizada por los números  irracionales, aquellos con una secuencia de decimales infinita y no repetitiva. Algunos de ellos, como φ=1.6180339887... o π=3.1415926535... desempeñan un papel clave en la Geometría Sagrada.

El objetivo de este artículo es proporcionar una herramienta, las fracciones continas, mediante la cual se puede analizar y extraer la estructura interna de cualquier número real, ya sea racional o irracional. Las fracciones continuas nos permiten comprender por qué, entre el infinito número de secuencias que convergen a la Razón Aurea φ, la secuencia de Fibonacci es tan especial; o qué significa que la Proporción Aurea sea el número más irracional; o por qué algunos irracionales especiales, conocidos como Números nobles y muy relacionados con φ, juegan un papel clave en muchos fenómenos naturales como la filotaxis de las plantas. Por el camino emergerá de forma natural una jerarquía de racionales conocida como el árbol de Farey, con muchas implicaciones en física y química.

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2.- Definición básica

Vamos a coger como ejemplo la fracción 5/12. Este número también se puede expresar de la siguiente forma alternativa:

Example of continued fraction

Esta expresión se conoce como expansión en fracción continua -o simplemente fracción continua- del número 5/12. En esta representación, los numeradores son siempre 1. La parte interesante son los números enteros que aparecen en los denominadores sucesivos. Para recuperar el número original, basta conocer estos números; por consiguiente, la expansión en fracción continua se suele  abreviar como 5/12 = [2, 2, 2]. En general, cualquier número real x comprendido entre 0 y 1 puede expresarse como una fracción continua de la forma siguiente:

Continued fraction between 0 and 1

donde ak , k=1,2,... se denominan los indices. La expansión en fracción continua es finita si x es racional, e infinita si x es irracional. Si la parte entera de x no es cero, entonces la expresión general de x se expresa como

Continued fraction general definition

Aquí podemos ver que la fracción continua en realidad expresa Here we can see that the continued fraction actually expresses la estructura de la parte decimal de x. Así pues, de aquí en adelante restringiremos nuestro análisis a las fracciones continuas de numeros comprendidos entre 0 y 1.

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3.- Cálculo de los índices

Veamos cómo podemos calcular los índices de la fracción continua de un número dado. Primero vamos a focalizarnos en los racionales. Consideremos un número racional expresado como una fracción A/B. El punto clave aquí es darse cuenta de que, si lo invertimos B/A, su parte entera es el primer índice a1. Así pues a1se puede obtener por una simple división entera. Para obtener los índices restantes, tan sólo necesitamos iterar el proceso usando el resto como nuevo divisor, tal como se muestra a continuación: 

Obtaining the indices of the continued fraction of a rational number

Hemos parado el proceso en el tercer índice, pero en general puede haber muchos más índices: el proceso en realidad se para cuando llegamos un resto nulo. Vamosa ilustrarlo con el ejemplo de la sección previa, es decir la fracción A/B = 5/12:

Continued fraction of number 5/12

Es importante darse cuenta de que cualquier fracción continua tiene dos representaciones posibles, porque [a1, a2, ..., an,1] es exactamente igual a [a1, a2, ..., an+1]. Es decir, cuando el último índice es 1, se puede sumar al índice precedente dando lugar a una fracción continua equivalente más "compacta", con un índice menos. En el ejemplo previo:

The two alternative representations of a continued fraction

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4.- Cálculo de los convergentes

Truncando la fracción continua de un número x = A/B en puntos sucesivos de su desarrollo, obtenemos aproximaciones racionales Pk/Qk de x denominadas sus convergentes:

The convergents of a continued fraction

Los convergentes tienen la siguiente propiedad importante [Kapp]: cada convergente Pk/Qk  es la mejor aproximación racional del número x con denominador no superior a Qk. Calculemos los convergentes en el ejemplo previo:

The representation ended in 1 provides the most complete set of convergents 

Según la propiedad anterior, 2/5 = 0.4 es la mejor aproximación racional posible de 5/12 = 0.4166666 con denominador no superior a 5 (error=4%). Puede apreciarse que la representación "expandida" de la fracción continua (la que termina en un 1) proporciona un convergente extra, 3/7 = 0.42857143. Esta es la mejor aproximación racional posible de 5/12 con denominador no superior a 7 (error=2.8%). Se observa pues que utilizando la representación "compacta" de una fracción continua "se esconde" uno de los convergentes de la expansión. Por lo tanto, resulta preferible trabajar con la representación "extendida" equivalente terminada en 1.

A medida que añadimos más índices al convergente, su cálculo directo se vuelve más y más complicado. Sin embargo, existe un método iterativo que nos permite calcular un convergente dado a partir de los dos precedentes [Kapp]. Para inicializar el proceso necesitamos calcular P1/Q1, para el cual no existen convergentes previos; en este caso asumimos las condiciones iniciales P-1/Q-1 = 1/0 y P0/Q0=0/1. El proceso a seguir puede expresarse en forma de tabla como sigue:

Iterative process for calculating the convergents of a continued fraction given its indices

Ahora comprobemos como este algoritmo efectivamente proporciona los convergentes esperados para la representación en fracción continua "extendida" [2,2,1,1] de 5/12:

Calculating the convergents of a given continued fraction

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5.- Un método gráfico: el árbol de Farey

Hasta el momento hemos aprendido cómo obtener los índices de la fracción continua de un número racional dado, y cómo calcular sus convergentes a partir de esos índices. El lector se puede estar preguntando: ¿existe alguna forma más sencilla de calcular la fracción continua de un número racional? Pues resulta que sí: existe un método gráfico que permite "ordenar" de alguna forma los números racionales y calcular fácilmente la expansión en fracción continua de un número racional dado. La fracción continua más simple (y corta) después de la unidad [1] = 1/1 es claramente [1,1] = [2] = 1/2. Un número racional cercano se puede obtener a través de lo que se conoce como "mediana" entre estos dos números racionales, que consiste en calcular una nueva fracción resultante de sumar numeradores y denominadores por separado, tal como se ilustra a continuación:

The mediant of two rational numbers

Este proceso genera un nuevo número racional situado entre sus dos predecesores, de manera que tenemos 0/1 < 1/3 < 1/2 < 2/3 < 1/1. La cuestión es: ¿cuál es la fracción continua de los nuevos números racionales obtenidos? Ésta se puede obtener fácilmente con la ayuda del siguiente árbol:

Left and right descension through mediants

Partiendo de la unidad, cada descenso puede ser hacia la izquierda (L) o hacia la derecha (R). Para obtener la fracción continua de un racional del árbol, primero escribimos todos los pasos descendentes a derecha o izquierda hasta que alcanzamos el número de interés. Por ejemplo para llegar a 1/3 descendemos dos pasos a la izquierda [LL]. A continuación la secuencia de L's y R's resultante se debe completar o con una L o con una R: siguiendo con nuestro ejemplo, tendríamos [LLL] o [LLR]. Esto conduce a las dos posibles representaciones de la fracción continua que estamos buscando. Los índices de la fracción continua se obtienen contando el número de pasos iguales consecutivos: por ejemplo [LLL] tiene tres pasos L consecutivos, luego corresponde a la fracción continua [3], mientras que [LLR] tiene dos pasos L y un paso R, luego corresponde a la fracción continua [2,1]. En ambos casos, su valor resultante es 1/3 como se muestra a continuación:

Continued fraction computation through the Farey tree

Si continuamos con el proceso de generar un nuevo número racional contenido entre cada par de números previos, obtenemos lo que se conoce como el árbol de Farey:

The Farey Tree

Par determinar la fracción continua de cada número racional en el árbol, escribimos cada paso descendente L/R en el process tal como sigue:

The Farey Tree with Left and Right descending steps

Nótese que cualquier racional contenido en este árbol puede alcanzarse por uno y sólo un camino descendente a través del árbol. Entonces su correspondiente fracción continua se obtiene fácilmente contando la secuencia de pasos L-R consecutivos, como se ha explicado más arriba. La figura siguiente ilustra el árbol de Farey hasta la fila cinco, junto con las dos representaciones equivalentes de la fracción continua de cada uno de sus números racionales:

The continued fraction of every fraction in the Farey tree

Llegados a este punto merece la pena hacer diversas observaciones acerca de la estructura del árbol de Farey y las correspondientes fracciones continuas de los números racionales que contiene:

(1) La secuencia de pasos L-R que conducen a un número racional dado, añadiéndole una R o una L final, proporciona las dos fracciones continuas equivalentes de este racional: la "compacta" y la "extendida". Por ejemplo para alcanzar 5/12 seguimos la secuencia de pasos[LLRRL]. Si completamos esta secuencia con una L final, obtenemos [LLRRLL] = [2, 2, 2]; por el contrario, si la completamos con una R final, obtenemos [LLRRLR] = [2, 2, 1, 1].

(2) Cualquier nueva fila del árbol de Farey contiene el doble de fracciones que la fila precedente, porque se introduce un nuevo elemento entre cada par existente. Además, cada fila tiene simetría especular: si trazamos una vertical de 1/2 hacia abajo, a cada lado de esta línea encontramos una pareja de fracciones complementarias que suman 1. Por ejemplo, en la tercera fila, encontramos las parejas 3/7 y 4/7, 3/8 y 5/8, 2/7 y 5/7, y 1/5 y 4/5. Es más, basta conocer la fracción continua de los elementos ubicados a la derecha de 1/2: la fracción continua de sus complementarios es la misma pero con las dos cifras de más a la izquierda sumadas, como se muestra a continuación:

Mirror symmetry in each row of the Farey tree  

(3) Los convergentes que conducen a un número racional dado pueden obtenerse de forma directa como las fracciones que lo abrazan de forma alternada a lo largo de la vertical. El primer paso desde el número hacia arriba puede darse a la izquierda o a la derecha de la vertical. Estos dos caminos alternativos proporcionan los convergentes de una de las dos representaciones en fracción continua del número racional de partida, como ilustra el diagrama siguiente para la fracción 5/12 (los convergentes de [2, 2, 2] en rojo, y los convergentes de [2, 2, 1, 1] en azul):

Getting the convergents of a rational from the Farey tree

De nuevo resulta claro que, para recuperar todos los convergentes de un racional dado, se debe usar la fracción continua "extendida" (terminada en 1). En resumen, el árbol de Farey contiene toda la información necesaria para obtener tanto los índices com los convergentes de un número racional determinado, siempre que sepamos su localización exacta en el árbol. La tabla siguiente resume los primeros 32 números racionales contenidos en el árbol de Farey y sus correspondientes fracciones continuas:

The Farey Table

Puede observarse que cada fila del árbol de Farey corresponde a un bloque de racionales en esta tabla. Todos los número dentro de cada bloque tienen en común que los índices de sus fracciones continuas suman un mismo valor: 2 en la primera fila, 3 en la segunda, 4 en la tercera, ... Fracciones continuas distintas dentro de un mismo bloque de alguna forma describen formas diferentes de particionar el número entero asociado a esa fila. En cada bloque, hay un número racional cuya fracción continua es la más dispersa posible: se trata del cociente de dos úmeros consecutivos de la secuencia de Fibonacci, Fn-1/Fn. Volviendo a mirar el árbol, podemos ver que las fracciones continuas formadas por una secuencia de unos corresponden a números racionales que descienden por el árbol haciendo zigzag siguiendo los pasos [LRLR ...] = [1, 1, 1, 1, ...]. Resulta interesante notar que los números complementarios de esos racionales especiales en cada fila también estan muy dispersos, pero empiezan en 2 en lugar de en 1: su secuencia es del tipo [LLRLRL ...] = [2, 1, 1, 1, ...]. Corresponden al cociente entre un número de Fibonacci y el número anterior a su predecesor en la secuencia, Fn-2/Fn. Veremos en una sección posterior que estos racionales son los convergentes de dos números irracionales pertenecientes a una familia de números irracionales especiales conocidos como Números Nobles. ¿Adivinas a qué dos números irracionales conducen esas dos secuencias, en caso de que las dejemos continuar indefinidamente?

También resulta interesante observar que a cada número racional de la tabla anterior se le ha asignado una posición absoluta, un número natural. El lector puede comprobar que esta posición puede obtenerse a partir del árbol de Farey numerando los racionales de cada fila de derecha a izquierda, empezando por la primera fila (1/2) y procediendo hacia abajo. El hecho clave es que esos números de posición no son arbitrarios: cada uno de ellos está directamente relacionado con la representación en fracción continua del correspondiente racional. Por ejemplo, imagínese que quisiéramos saber cual es el 25º racional del árbol. Para conseguirlo sólo tenemos que escribir 25 en notación binaria, 25 = 11001, y sustituir cada 1 por un paso L y cada 0 por un paso R. El resultado final es [LLRRL] que después de completarse con una L o una R da lugar a [2, 2, 2] = [2, 2, 1, 1] = 5/12. Así pues, según este proceso existe un número racional asociado a cada número natural.

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6.- Fracciones continuas de números irracionales

Hasta ahora nos hemos centrado en los números racionales, pero ¿qué pasa con los irracionales? Tal como hemos comentado más arriba, la expansión en fracción continua de un número irracional α tiene un número infinito de índices. Esta epansión también se puede truncar en pasos sucesivos, dando lugar a los convergentes Pk/Qk del número irracional α. Existe un procedimiento general para calcular la representación en fracción continua de cualquier número irracional, siempre que conozcamos su representación decimal exacta (véase el Apéndice). Algunos ejemplos de fracciones continuas de números irracionales notables son los siguientes [Barr]:

Continued fraction of notable irrationals

Pero en este artículo estamos interesados en la expansión en fracción continua de dos familias de números irracionales especiales. Estas expansiones resultan ser muy sencillas de calcular, y los irracionales resultantes tienen propiedades muy especiales y aparecen en muchos fenómenos físicos. Una primera familia está formada por todos los números irracionales que satisfacen la ecuación x2=px+1, para p=1,2,3, ... Esta ecuación también puede expresarse como x=p+1/x. Sustituyéndola dentro de sí misma, proporciona el siguiente conjunto de expansiones en fracción continua, cuyos números irracionales resultantes pueden obtenerse directamente como la solución positiva de la ecuación de segundo grado:

Continued fraction expansions of the Metallic Means

Podemos observar que todas las fracciones continuas de esta familia tienen índices constantes [p; p, p, p, ...]. Corresponden a un conjunto de números conocidos como Medias Metálicas. Como el lector debe haber notado, el primer número de esta familia es, por supuesto, la Proporción Aurea: φ = [1; 1, 1, 1, 1, ...]. Su parte decimal φ - 1 = 1/φ tiene la expansión [1,1,1,1,...]. Vamos a calcular los convergentes de 1/φ -los convergentes de φ serán sus inversos- y veamos si nos resultan familiares:

Continued fraction expansion of the Golden Ratio

Como podemos ver, los convergentes del inverso de la Proporción Aurea son los cocientes de números sucesivos de la secuencia de Fibonacci. ¿Puedes ubicarlos en el árbol de Farey? Ahora mi pregunta es la siguiente: entre el infinito número de secuencias cuyos cocientes consecutivos convergen a la Proporción Aurea ¿por qué la secuencia de Fibonacci es tan especial? Bueno, según la propiedad general de los convergentes de una fracción continua enunciada en la sección 4, el cociente Fn-1/Fn de valores consecutivos de la secuencia de Fibonacci es la mejor aproximación racional posible a 1/φ con denominador no superior a Fn(por ejemplo, 8/13 es la mejor aproximación racional a 1/φ con denominador no superior a 13).

Ahora también estamos en posición de comprender por qué la Proporción Aurea es el número más irracional. La respuesta está directamente relacionada con el grado con el que se puede aproximar sucesivamente un número racional α a partir de los convergentes Pk/Qk de su expansión en fracción continua. Una medida de la aproximación de Pk/Qk a α viene dada por [Kapp]:

How well an irrational is approximated by the convergents of its continued fraction expansion

En otras palabras, los convegentes de α correspondientes a valores elevados de los índices ak aproximan α de forma más precisa porque la distancia |α - Pk/Qk| es pequeña.  Por ejemplo, aproximando π por el quinto convergente de su descomposición en fracción continua vista más arriba obtenemos un valor muy preciso P5/Q5 = [3,7,15,1,292] = 3.141592653012... correcto hasta nueve cifras decimales (véase el Apéndice). Ello es debido a que el índice a5 es muy grande.

Ahora consideremos α = 1/φ en la desigualdad previa. Como todos los índices de su descomposición en fracción continua son igual a 1, se trata del número irracional con la peor aproximación a sus convergentes. Y como los convergentes son la mejor aproximación racional a su número límite irracional, 1/φ es el número irracional que se encuentra más lejos de los racionales que cualquier otro numero irracional -que necesariamente tendrá una descomposición en fracción continua con índices mayores que uno.

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7.- Números Nobles

Cualquier número irracional comprendido entre 0 y 1 cuya expansión en fracción continua sea de la forma τG = [a1, a2, ..., an, 1, 1, 1, ...], donde ak≥1, se denomina Número Noble. El número más noble de todos es el inverso de la Proporción Aurea 1/φ = [1, 1, 1, 1, ...]. El siguiente Número Noble en importancia es 1/φ2 = [2,1,1,1,...]. Resulta muy instructivo observar donde se encuentran los convergentes de estos números dentro del árbol de Farey. Tal como hemos mencionado más arriba, una fracción continua con una secuencia finita de unos corresponde a números racionales que descienden en zigzag por el árbol de Farey siguiendo los pasos [LRLR ...] = [1,1,1,1, ...]. El inverso de la Proporción Aurea empieza a hacer zigzag desde el principio. Cualquier otro Número Noble empieza el zigzag más adelante, después de un determinado número finito de pasos por el árbol que no siguen exactamente una secuencia L-R. A partir de un número racional dado, por ejemplo 5/12, existen dos formas de descender haciendo zigzag: o bien a partir de la fracción situada inmediatamente encima y a la derecha de 5/12, en este caso 3/7; o bien a partir de la fracción situada inmediatamente encima y a su izquierda, es decir 2/5:

Covergents to Noble Numbers in the Farey Tree

La fracción continua infinita resultante converge a dos números irracionales, uno ubicado a la derecha y el otro a la izquierda del número racional de partida, en nuestro caso 5/12. Jay Kappraff ha demonstrado que el número irracional resultante τG obedece la fórmula general [Kapp]:

donde p1/q1 es la fracción inicial y p0/q0 es la fracción situada inmediatamente por encima en el árbol de Farey, bien hacia la izquierda o hacia la derecha. En nuestro ejemplo, los dos Números Nobles "generados" por 5/12 son los siguientes:

Noble Numbers convergents calculation from the Farey Tree

Resulta interesante darse cuenta de que cuando empieza el proceso de zigzag, cada nuevo convergente se puede obtener directamente por la suma de mediana de los dos convergentes previos. Esta es una propiedad muy importante que comparten todos los Números Nobles con la Proporción Aurea. A menudo se enuncia diciendo que los Números Nobles no tienen convergentes intermedios -se entiendo, por supuesto, por debajo de su fracción "generatriz", en nuestro ejemplo 5/12. En el trayecto árbol abajo, esto significa que no existe ningún paso que pase a través de una fracción intermedia (más separada de la vertical) que no sea un convergente, algo que tan sólo sucede cuando se dan pasos consecutivos LL... o RR... : por ejemplo, para llegar a 5/12 tenemos que pasar a través de 1/3, que no es un convergente de la fracción continua de 5/12, pero está ubicado "entremedio" de los convergentes 1/2 and 2/5 en el descenso a través del árbol de Farey.

Los Números Nobles también comparten con la Proporción Aurea la propiedad de ser los números "más irracionales", debido a la cola de 1's en su expansión en fracción continua. Estas dos propiedades explican, por un lado, su presencia en el estudio de la filotaxis de las plantas. Citamos textualmente a Jay Kappraff [Kapp, p. 325]: "Cuando los Números Nobles se multiplican por 360 grados, propocionan unos ángulos especiales relacionados con el crecimiento de las plantas que se conocen como ángulos de divergencia. Estos ángulos describen la ubicación de las cabezuelas en la superficie de una planta, como las que dan lugar a los giros en espiral de un girasol. Por ejemplo el irracional [2,1,1,1,...] = 1/φ2 es el número más prevalente, y conduce al ángulo 360/φ2 = 137.5 grados. El siguiente ángulo más importante es [3,1,1,1,...] el cual, cuando se multiplica por 360 da lugar a 99.5 grados. El siguiente ángulo en importancia es [2,2,1,1,1,...] y da lugar a 151.1 grados".

El hecho de que los Números Nobles sean los que peor se pueden aproximar por cualquier número racional también los hace importantes en muchos problemas de órbitas caóticas de la física. John D. Barrow lo explica de una forma muy elegante [Barr]: "Estos números caracterizan las frecuencias de aquellos movimientos ondulatorios que son los menos susceptibles de ser perturbados hacia una inestabilidad caótica. Típicamente, un sistema que puede oscilar de dos formas, como una estrella que está orbitando alrededor de una galaxia y también está bamboleandose por encima y por debajo del plano de la galaxia, tiene dos frecuencias que determinan estas oscilaciones distintas. Si el cociente de esas dos frecuencias es una fracción racional, entonces en última instancia el movimiento será periódico, pero si se trata de un número irracional entonces el movimiento será no periódico, explorando todas las posibilidades compatibles con la conservación de su energía y su momento angular. Si perturbamos un sistema que tiene un cociente de frecuencias racional, éste puede ser fácilmente desplazado a una situación caótica con frecuencias irracionales. La Proporción Aurea es la más estable porque está siempre lejos de uno de esos cocientes racionales. De hecho, la estabilidad de nuestro sistema solar durante largos períodos de tiempo está supeditada a determinados cocientes de frecuencias muy cercanos a Números Nobles".

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8.- Referencias

[Kapp]  Kappraff, Jay: "Beyond Measure: a guided tour through Nature, Myth and Number", World Scientific Publishing, 2002.

[Barr]  Barrow, John D: "Chaos in numberland: The secret life of continued fractions", Plus Magazine, 2000.

Apéndice: Cálculo de la fracción continua de un número real

Excepto en algunos casos particulares que hemos explorado en las secciones previas, en general para calcular la fracción continua de un número irracional necesitamos conocer su representación decimal. Si este es el caso, entonces podemos seguir un proceso parecido al de la Sección 4, pero para obtener los "cocientes" de una división real necesitamos tomar la parte entera del resultado. Vamos a denotar la parte entera de un número α como [α]. El proceso general es el siguiente: si el número α es mayor que 1, entonces extraemos su parte entera a0 = [α]. Para obtener el primer índice del denominador, a1, sólo necesitamos invertir el número y tomar su parte entera. Luego este proceso de invertir y tomar la parte entera puede iterarse tantas veces como sea necesario:

Calculating the indices of the continued fraction of an irrational number

¿Cuándo deberíamos parar el proceso? La fracción continua de un número irracional tiene un número infinito de índices. La fracción continua resultante de parar este proceso en una iteración determinada proporciona una aproximación al número original. Cuantos más índices calculamos, mejor es la aproximación. No obstante, si el número original sólo se conoce con un número finito de cifras decimales, en realidad estamos limitados por esta restricción. Imagínese que quisiéramos obtener la fracción continua de π conociendo su representación decimal con diez cifras decimales exactas. Realizaríamos las siguientes operaciones:

Calculating the continued fraction of PI

Una vez que tenemos los índices de la fracción continua, los convergentes pueden recuperarse mediante el mismo algoritmo que se aplica a los números racionales explicado en la sección 5. En nuestro ejemplo, ello nos permite calcular aproximaciones sucesivas al número π. Cada una de ellas, tratándose de un convergente de una fracción continua, es la mejor aproximación entre todas las que tienen el denominador igual o inferior:

Recovering the convergents of the continued fraction expansion of PI

Resulta interesante destacar que la aproximación π≈355/113 ya era conocida por los antiguos chinos [Barr]. Y la aproximación π≈22/7, que se encuentra en las dimensiones de la Gran Pirámide de Giza, proporciona una muy buena aproximación a la cuadratura del círculo, tal como hemos visto en este artículo.

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Última actualización:
31/01/2014